22-letni przyjmujący swoją przygodę z siatkówką rozpoczął w zespole MUKS Huragan Wołomin, w której występował w latach 2009-2014. Przez kolejne lata Bartosz Firszt związany był z KS Metro Warszawa, z którym w 2018 roku sięgnął po srebrny medal Mistrzostw Polski Juniorów. Podczas tego turnieju otrzymał również prestiżową nagrodę indywidualną i został wybrany najlepszym przyjmującym zawodów i został objęty programem Red Bull "Siatkarskie Skrzydła".

W latach 2016-2018 przyjmujący został uczniem w Szkole Mistrzostwa Sportowego w Spale, gdzie został również kapitanem reprezentacji Polski Juniorów. W narodowych barwach Bartosz wystąpił między innymi podczas Mistrzostw Europy U-20 w Belgii i Holandii, gdzie biało-czerwoni zajęli szóste miejsce. W 2018 roku Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Stoczni Szczecin. 20-letni zawodnik nie zadebiutował jednak w rozgrywkach PlusLigi, ponieważ został wypożyczony do I-szo ligowego zespołu BBTS-u Bielsko-Biała, gdzie uznany został najlepszym przyjmującym rundy zasadniczej. Warto dodać, że Bartosz Firszt podczas pobytu w Szczecinie, poleciał do Włoch na staż do Cucine Lube Civitanova.

W sezonie 2019/2020 Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Cerrad Enea Czarnych Radom. W swoim debiucie na parkietach PlusLigi mężczyzn wystąpił w 23.spotkaniach zdobywając 40.punktów. W kolejnym roku 22-letni przyjmujący wystąpił w 24. meczach w których zdobył 138.punktów.

Zbliżający się sezon 2021/2022 będzie zatem dla Bartosza Firszta 3.sezonem w PlusLidze oraz w barwach drużyny Cerrad Enea Czarnych Radom.