Bartosz Firszt swoją przygodę z siatkówką rozpoczął w zespole MUKS Huragan Wołomin, w której występował w latach 2009-2014. Przez kolejne lata przyjmujący związany był z KS Metro Warszawa, z którym w 2018 roku sięgnął po srebrny medal Mistrzostw Polski Juniorów. W latach 2016 -2018 przyjmujący został uczniem w Szkole Mistrzostwa Sportowego w Spale, gdzie został również kapitanem reprezentacji Polski Juniorów. W narodowych barwach Bartosz wystąpił między innymi podczas Mistrzostw Europy U-20 w Belgii i Holandii, gdzie biało-czerwoni zajęli szóste miejsce.

W 2018 roku Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Stoczni Szczecin. 20-letni wówczas zawodnik nie zadebiutował jednak w rozgrywkach PlusLigi, ponieważ został wypożyczony do I-szo ligowego zespołu BBTS-u Bielsko-Biała, gdzie uznany został najlepszym przyjmującym rundy zasadniczej. Warto dodać, że Bartosz Firszt podczas pobytu w Szczecinie, poleciał do Włoch na staż do Cucine Lube Civitanova.

W sezonie 2019/2020 Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Cerrad Enea Czarnych Radom. W swoim debiucie na parkietach PlusLigi mężczyzn wystąpił w 23 spotkaniach zdobywając 40 punktów. W kolejnym roku przyjmujący wystąpił w 24 meczach w których zdobył 138 punktów. W sezonie 2021/2022 Bartosz rozegrał 23 mecze, w których zdobył dla swojego zespołu 60 punktów. Najwięcej meczów Bartosz Firszt rozegrał w sezonie 2022/2023. W barwach WKS-u przyjmujący rozegrał wówczas 28 spotkań i zdobył 225 punktów.

Bartosz Firszt przez cztery ostatnie lata w barwach Cerrad Enea Czarnych Radom rozegrał 98 meczów i zdobył 463 punkty. Warto dodać, że w ubiegłym roku Bartosz był najlepszym przyjmującym zespołu (48,90% skuteczności) oraz trzecim najlepiej: punktującym (225 punktów), blokującym (26 punktów) i zagrywającym (17 punktów).