Bartosz Firszt swoją przygodę z siatkówką rozpoczął w MUKS-ie Huragan Wołomin, następnie związany był z KS Metro Warszawa, z którym w 2018 roku sięgnął po srebrny medal mistrzostw Polski juniorów. Podczas tego turnieju został wybrany najlepszym przyjmującym zawodów i objęty programem Red Bull "Siatkarskie Skrzydła".

W latach 2016 -2018 przyjmujący został uczniem w Szkole Mistrzostwa Sportowego w Spale, gdzie został również kapitanem reprezentacji Polski Juniorów. W narodowych barwach Bartosz wystąpił między innymi podczas lipcowych mistrzostw Europy U-20 w Belgii i Holandii, gdzie biało-czerwoni zajęli szóste miejsce.

W 2018 roku Bartosz Firszt podpisał kontrakt z zespołem Stoczni Szczecin. 20-letni zawodnik nie zadebiutował jednak w rozgrywkach PlusLigi, ponieważ został wypożyczony do pierwszoligowego BBTS-u Bielsko-Biała, gdzie uznany został najlepszym przyjmującym rundy zasadniczej.