Damian Schulz swoją profesjonalną karierę sportową rozpoczął w 2011 roku, kiedy to został zawodnikiem Jokera Piła. W sezonie 2012/2013 występował w drużynie AZS UAM Poznań. Rok później atakujący zasilił szeregi zespołu KPS Siedlce, skąd następnie trafił na parkiety PlusLigi – broniąc barw Trefla Gdańsk w latach 2014 - 2018. Po grze dla gdańskich lwów, atakujący przeniósł się na dwa sezony do Asseco Resovii Rzeszów. W rozgrywkach 2020/2021 Damian Schulz występował w zespole Indykpolu AZS Olsztyn. W sezonie 2021/2022 atakujący bronił barw PGE Skry Bełchatów.

W klubowej karierze Damian Schulz dwukrotnie wywalczył Puchar Polski (2015, 2018), a w mistrzostwach Polski zdobył srebrny (2015) i brązowy (2018) medal, a także krajowy Superpuchar (2015). W sezonie 2017/2018 Damian Schulz został MVP finałowego turnieju o Puchar Polski. W 2018 roku sięgnął z reprezentacją Polski po złoty medal Memoriału Huberta Jerzego Wagnera. Największym jednak sukcesem atakującego jest mistrzostwo świata, które wywalczył w 2018 roku.

Damian Schulz do zespołu Cerrad Enea Czarnych Radom zakontraktowany został tuż przed inauguracją sezonu 2022/2023, przechodząc z drużyny PGE Skry Bełchatów. Dla Damiana ostatnie rozgrywki były już 9 sezonem na parkietach PlusLigi. W barwach Cerrad Enea Czarnych Radom atakujący wystąpił w 30 meczach będąc najlepiej punktującym zawodnikiem - 432 zdobyte punkty. Dodatkowo Damian Schulz był najlepiej zagrywającym - 30 punktów oraz był drugim najlepiej blokującym - 29 punktów.